Hallo!
die sog. "Jammerforen" sind zwar hier nicht beliebt und ich werde auch nur kurz zitieren, jedoch gilt folgendes min. für den SGB II-Bereich. Ob es auch für dich analog berechtigt ist, können die Fachleute hier sicherlich sagen 
Also zunächst folgendes :
Fahrtkosten zur ambulanten Therapie, die von der Krankenversicherung
nicht übernommen werden, sind nicht vom Grundsicherungsträger zu
erstatten ( Sächs. LSG, Beschluss vom 25.09.2013, Az.: L 7 AS 83/12 NZB )
a. A. aktuell:
Übernahme der Fahrtkosten als Mehrbedarf nach § 21 Abs. 6 SGB II, wenn
bei einem über den Regelsatzanteil für Mobilität hinausgehenden
Mehrbedarf in Höhe von ca. 8 - 9 % des Regelsatzes die "Bagatellgrenze"
überschritten und eine weitere Umschichtung des Regelsatzes nicht
zumutbar ist, denn Einsparmöglichkeiten sind nicht dauerhaft gegeben.
SG Dresden, Urteil v. 12.12.2016 - S 3 AS 5728/14 - Jobcenter muss
außergewöhnliche Fahrtkosten zu Therapie erstatten - für einem über den
Regelsatzanteil hinausgehenden Mehrbedarf in Höhe von ca. 8 % des
Regelsatzes
Das bedeutet zunächst nix anderes, dass es also umstritten ist, dass aber das NEUERE Urteil den Mehrbedarf beFÜRwortet!
Aufgrund dessen schrieb im weiteren Verlauf eine dort mitschreibende Mitarbeiterin eines Sozialamtes :
....da die meisten Fahrtkosten keine Leistungen der Krankenkasse sind trifft der § halt gerade nicht zu. Wir zahlen über § 27 a Abs. 4 oder 73......
Was nun daraus folgt? Naja, zunächst ist eine etwaige Zuständigkeit deiner Krankenkasse auf Übernahme der (attestierten) Fahrtkosten zu stellen. Wenn diese (schriftlich) ablehnt, ab zum Grusiamt und dann dort Mehrbedarfantrag stellen und dafür das Dresdener Urteil mit anführen! Abhängig von der Schnelligkeit deiner KK könntest du auch (fristwahrend) parallel bei Grusi und KK den Antrag stellen. Früher ginge sowas und man konnte dann beim Amt den Antrag zur Entscheidung ruhend stellen, bis die andere Stelle ablehnte. Ob das heute auch so ist, werden dir die Spezies hier sicherlich verraten 
So würde ich vorgehen und deinen Nebenjob kannst du ja immer noch machen, nur dass du dann das Geld nicht zwingend vielleicht für diese Mehrausgaben hergeben musst.
Viel Erfolg wünscht,
little