Ich sehe das auch so. Man sollte da die beiden Sachverhalte (Mail wg. Auszahlung und Weiterbewilligung) nicht miteinander vermengen.
Zur Bearbeitungsdauer der Mail vermag ich mangels ausreichender Informationen nichts zu sagen.
Es ist jedoch immer schwierig, die Wohnung zu sichern, wenn die Kosten dafür nicht angemessen sind und vom Sozialamt nicht voll berücksichtigt werden können.
Zum "Weiterbewilligungsantrag" möchte ich jedoch darauf hinweisen, dass es eines solchen in einem laufenden Fall nicht bedarf (siehe Bundessozialgerichtsurteil vom 29.9.2009 - B 8 SO 13/08 R). Nach der Rechtsprechung des BSG wirkt der einmal gestellte Erstantrag weiterhin fort, ohne dass es nach Ablauf eines Bewilligungszeitraumes eines neuen Antrages auf Weiterbewilligung bedarf.
Dennoch ist es gängige Praxis, dass das Sozialamt überprüft, ob die Voraussetzungen für die weitere Grundsicherungsbewilligung auch weiterhin vorliegen. Dazu benötigt es in der Regel aktuelle Unterlagen über die Rente, Miete etc. Diese Unterlagen muss der Grundsicherungsbezieher im Rahmen seiner Mitwirkungspflichten auch vorliegen. Tut er das nicht, kann das Sozialamt die Grundsicherung ganz oder teilweise entziehen.
Das von dir als bedrohlich empfundene Schreiben ist also im Grunde nur der Hinweis des Sozialamtes an deine Mutter, dass sie Mitwirkungspflichten hat und - falls sie diesen nicht nachkommt - sich Auswirkungen auf die Grundsicherungszahlung ergeben könnten.
Daher würde ich fristgerecht die Erklärung ausfüllen und die sich seit Antragstellung ergebenden Änderungen mitteilen, aktuelle Nachweise (Rentenbescheid, Mietbescheinigung) beifügen und ab damit.
Dass die Frist dir etwas kurz vorkommt, kann ich nachvollziehen, aber die Grundsicherungssachbearbeiter haben im Regelfall rund 200 Aktenfälle im Schrank und da müssen sie entsprechend vorausschauend arbeiten. Im Normalfall dürfte das aber keine Schwierigkeit bereiten, weil man die geforderten Nachweise zu Hause hat und relativ kurzfristig dem Sozialamt zuschicken kann.