Wurde diese Frage schon dem zuständigen Sachbearbeiter des Sozialamtes gestellt? Tipp: Da eh alle Änderungen in den persönlichen und wirtschaftlichen Verhältnissen (dazu gehören Änderungen bei der Einkommenshöhe genauso wie Schreiben der Krankenkasse über die Höhe eines Krankenversicherungsbeitrages) dem Sozialamt mitzuteilen sind, kann man diese Frage dann mal direkt mit dem abklären, der darüber entscheidet.
Im übrigen kann es durchaus sein, dass Krankenversicherungsschutz über die Rente besteht. Werden von der Rente Beiträge zur KV einbehalten? Wenn nicht, würde ich mal ganz schnell mit der Krankenkasse Kontakt aufnehmen, woran die Versicherung denn genau hakt. Wenn das Jobcenter mit Ende des Leistungsbezuges die Krankenkasse abmeldet, muss eine freiwillige Krankenversicherung beantragt werden, wenn keine Pflichtversicherung greift. Wenn das versäumt wurde, ist der KV-Schutz in Gefahr!