ALG1 läuft vor Umschulung aus

Hallo zusammen,

ich bin neu hier und brauchte dringend Rat.
Ich bedanke mich im Voraus für das Lesen und für jede Mühe.

Ich habe Leistungen zur Teilhabe am arbeitsleben genehmigt bekommen. Nach Gutachten der Amtsärztin und Berufspsychologin bin ich stabil und fit (Depressionen mit langem Klinikaufenthalt) genug um eine Umschulung zu machen. Meine Sachbearbeiterin hat nun nach 2 Monaten beschlossen mich erstmal 6 Wochen zur Arbeitserprobung zu schicken, jedoch nich ohne Termin. Jetzt läuft mein Alg1 jedoch sehr bald aus und Alg2 werde ich mit hoher Wahrscheinlichkeit nicht erhalten, da ich noch Vermögen habe (sparbuch und bausparvertrag). Auf diesen Hinweis reagierte die Rehaberaterin mit Schulterzucken und der Bemerkung, ich würde dann nicht mehr in ihren Verantwortungsbereich fallen.
Ich bin nun völlig verzweifelt. Die Umschulung war meine einzige Hoffnung wieder Fuß zu fassen und nun falle ich wieder zurück in die Depression.
Verliere ich meinen Anspruch auf Maßnahmen wenn ich denn kein Alg2 erhalte und damit ja auch keinen Leistungsträger?
Kann ich noch irgendetwas tun, um die Rehaberaterin doch dazu zu bewegen mich für eine Umschulung anzumelden?

Hat niemand Erfahrung mit LTA?

Danke für die Antwort Turtle1972.

Das heißt die Umschulung könnte ich machen, müsste dann "nur" für alle anderen Kosten wie Miete etc. Selbst aufkommen?

Meine Sachbearbeiterin meinte nämlich, dass die Arbeitsagentur dann nicht mehr zuständig wäre, wenn der Alg-Bezug abgelaufen ist. Ich würde aus dem Verantwortungsbereich rausfallen.